Exercice résolu : tangentes à la courbe d'une fonction polynôme de degré 3

Énoncé

Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=x^3-\dfrac{3}{2}x^2-6x+5\) pour tout réel \(x\).
Soit \(\text{A}\), \(\text{B}\), \(\text{C}\), \(\text{D}\) et \(\text{E}\) les points de la courbe de \(f\) d'abscisses respectives \(-2\), \(-1\), \(0\), \(2\) et \(3\).

Dans un repère orthonormé, pour chacun des points donnés, tracer la droite passant par ce point et de coefficient directeur le nombre dérivé de la fonction `f` en l'abscisse de ce point.
Construire une courbe pouvant représenter la fonction `f` .

Solution

On calcule l'ordonnée de ces points, puis on les place dans un repère.
On a \(f(-2)=3\) ; \(f(-1)=8{,}5\) ; \(f(0)=5\) ; \(f(2)=-5\) et \(f(3)=0{,}5\).​​​​​​On calcule ensuite le coefficient directeur des cinq tangentes à la courbe de \(f\), en ces cinq points.
On a \(f'(x)=3x^2-3x-6\) pour tout réel \(x\).
On en déduit que \(f^{\prime}(-2)=12\) ; \(f^{\prime}(-1)=0\) ; \(f^{\prime}(0)=-6\) ; \(f^{\prime}(2)=0\) et \(f'(3)=12\).​​​​​​Enfin, on construit la courbe de \(f\).